Logica matematica by Ruggero Ferro

autore:Ruggero Ferro [Ferro, Ruggero]
La lingua: ita
Format: epub
pubblicato: 2012-04-19T09:39:22+00:00

Così, se un enunciato ϕ è vero in una struttura se e solo se la struttura è finita, e se esso viene aggiunto all’insieme di enunciati appena visti, l’insieme Σ di enunciati risultante, Σ =

{ϕ}∪{¬ci=cj: i≠j, i e j numeri naturali}, dovrà essere non soddisfacibile, perché ogni suo modello dovrebbe essere simultaneamente finito e infinito.

Invece, sempre nell’ipotesi che ci sia quell’enunciato ϕ, Σ è soddisfacibile. Infatti si farà vedere che ogni sottinsieme finito Σo di Σ è soddisfacibile, pervenendo così al risultato voluto proprio in virtù del teorema di compattezza.

Sia, dunque, Σo un qualsiasi sottinsieme finito di Σ. Essendo finito il numero degli enunciati occorrenti in Σo, ci sarà un indice massimo io dei nuovi simboli di costante del tipo ci occorrenti in enunciati del tipo ¬ci=cj appartenenti ad Σo, se ce ne sono, altrimenti io sia 0. Sia Ao una struttura, adatta al linguaggio di ϕ, il cui universo abbia almeno io elementi. Si espanda Ao ad una struttura Ao’, adatta al linguaggio di Σo, interpretando ciascun simbolo di costante ci, con i < io, in elementi diversi dell’universo di Ao (cosa possibile vista la cardinalità di Ao), e interpretando gli altri nuovi simboli per costante aggiunti come si vuole. Questa interpretazione è stata scelta proprio perché così l’interpretazione di ci è diversa dall’interpretazione di cj ogniqualvolta i è diverso da j Così è ovvio che Ao’|= ¬ci=cj per ogni coppia di numeri naturali diversi i e j minori od uguali a io. Poiché gli enunciati veri in una struttura continuano ad essere veri in una sua qualunque espansione1, anche ϕ sarà vero in Ao’. Per quanto abbiamo visto possiamo concludere che ogni enunciato di Σo è vero in Ao’, fatto che possiamo indicare così: Ao’|=Σo.

Dunque, come già anticipato, in virtù della compattezza, si può affermare che Σ e soddisfacibile. Ma si è già notato che ciò è impossibile, e pertanto il punto di partenza da cui si è dedotto ciò deve essere falso. Il punto di partenza era l’esistenza dell’enunciato ϕ

vero esattamente nelle strutture finite, enunciato che, perciò, non può esistere.

29.2. CATEGORICITA’.

Un problema che si affaccia in modo del tutto naturale nello studio della logica è il seguente. Il linguaggio è in grado di caratterizzare in modo univoco una prefissata struttura?

Spesso a questo problema viene data una risposta positiva implicita nell’atteggiamento espresso dall’affermazione: se conosci ciò di cui vuoi parlare, e se conosci la lingua, devi essere in grado di descrivere compiutamente il tuo pensiero.

Qui “ciò di cui vuoi parlare” può essere inteso come la struttura che si vuol descrivere (che si deve supporre completamente nota, altrimenti non ha neppure senso parlare di verità di un enunciato in quella struttura); e “la capacità di descrivere compiutamente il proprio pensiero” può essere intesa come la capacità di precisare univocamente la struttura che si considera attraverso il linguaggio (naturalmente precisazione univoca a meno di isomorfismi, perché due strutture isomorfe si comportano esattamente nello stesso modo, e non possono essere distinte, né interessa distinguerle, mediante il linguaggio).

Si dice categorica una teoria che ha un solo modello a meno di isomorfismi.

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